Естествено число

Poll without page-refresh

Article on other languages:

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

В математиката естествено число е или цяло положително число (1,2,3,...,n,...), или цяло неотрицателно число (0,1,2,3,...,n,...).

Естествените числа се използват при броенето („На масата има 3 ябълки.“) и при номерацията („Той завърши на 3-то място“).

Записване

Математиците използват N или $\mathbb{N}$ за представяне множеството на естествените числа. По определение това множество е безкрайно и изброимо. За да се избегне объркването дали нулата се включва или не, се използват следните записвания:

за целите положителни числа:
- N или $\mathbb{N}$
- Z⁺ или $\mathbb{Z}^{+}$

за целите неотрицателни числа:
- N⁰ или $\mathbb{N}^{0}$
- Z⁺₀ или $\mathbb{Z}^{+}_{0}$ , където $\mathbb{Z}$ е множеството на целите числа.

По конвенция в математическата литература и по-специално в теорията на числата, под $\mathbb{N}$ се разбира $\mathbb{Z}^{+}$ , докато в логиката, теорията на множествата и информатиката $\mathbb{N}$ често означава $\mathbb{Z}^{0}$ .

Математическо определение

Следва точно математическо определение на естествените числа, предложено от Джузепе Пеано през 1889. Тези изказвания са познати като аксиоми на Пеано.

0 е естествено число.
Всяко естествено число a има наследник a+1, който е също естествено число.
Няма естествено число, чийто наследник е 0.
Ако две естествени числа са различни, тогава и наследниците им са различни: ако a≠b, тогава a+1≠b+1.
Ако за едно подмножество на естествените числа A важи: 0 ∈ A и за всяко a ∈ A важи a+1 ∈ A, то множеството A е равно на множестовото на естествените числа (Тази аксиома осигурява правилността на математическата индукция като доказателствен метод).

В теорията на множествата се използва следната конструкция на естествените числа, предложена от Джон фон Нойман:

0 := {}
1 := {{}}
2 := {0, 1} = {{}, {{}}}
3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
.
.
n+1 := {0, 1,..., n} = n U {n}

Единицата се представя като множество, чийто единствен елемент е празното множество.

Според това определение множеството n съдържа точно n елемента и n ≤ m тогава и само тогава, когато n е подмножество на m.

Въпреки че тази конструкция е доста удачна, тя не е единствената възможна. Например:

0 := {}
n+1 := {n}

Тогава 1 := {0} = {{}}, 2 := {1} = {{{}}} и т.н.

Основни свойства

Комутативност на събирането: a + b = b + a.
Комутативност на умножението: ab = ba.
Асоциативност на събирането: (a + b) + c = a + (b + c).
Асоциативност на умножението: (ab)c = a(bc).
Дистрибутивност на умножението относно събирането: a(b+c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca.

Вижте също

Взето от „http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1%81%D1%82%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE“.

Категории: Теория на числата | Числа

This article is from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.

Giant Panda

Mercedes Car

This site monitored by SitePinger.net